Квадратні рівняння | Підготовка до НМТ з математики

Підготовка до НМТ з математики: конспект з формулами дискримінанта та теореми Вієта для квадратних рівнянь

17Вер

Просто, швидко, з усмішкою

Квадратні рівняння – одна з тих тем, які спочатку можуть здаватися складними, а після кількох правильних кроків перетворюються на чіткий алгоритм. На НМТ важливо не просто пам’ятати формулу, а швидко визначати тип рівняння, обирати зручний спосіб розв’язання та не втрачати час на зайві обчислення. Розберемо квадратні рівняння просто, логічно та з усмішкою 😊

1. Що таке квадратне рівняння?

Квадратним називають рівняння виду: $ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$ . Числа a, b, c називають коефіцієнтами квадратного рівняння.
Наприклад: $2x^2 – 5x + 2 = 0$ де: a = 2, b = −5, c = 2.

2. Формула коренів квадратного рівняння:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Дискримінант – наш головний помічник! Щоб визначити кількість коренів квадратного рівняння, обчислюємо дискримінант: $D = b^2 – 4ac$ .
А далі – найцікавіше:

Якщо D > 0 Рівняння має два різні дійсні корені. Подумай чому?
Якщо D = 0 Рівняння має один дійсний корінь. Вірно чи ні?
Якщо D < 0 Рівняння не має дійсних коренів. Чому?

Приклад 1: $x^2 – 5x + 6 = 0$ . Маємо: a = 1, b = −5, c = 6.
Обчислюємо дискримінант: $D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1$ .
Оскільки D > 0, маємо два корені.
$x_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$
Відповідь: $x_1=2,x_2=3$ .

3. Неповні квадратні рівняння

Не кожне квадратне рівняння потребує дискримінанта.
Приклад 2: $x^2 – 25 = 0$
Маємо різницю квадратів: $x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5)$ .
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю. Маємо: $x_1 = 5, x_2 = -5$
Відповідь: −5; 5.

Ще один важливий випадок.
Приклад 3: $x^2 – 7x = 0$
Виносимо x за дужки: $x(x – 7) = 0$
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю: $x = 0$ або $x-7=0$ . Отже: $x_1 = 0, x_2 = 7$
Відповідь: 0; 7.

4. Завдання у стилі НМТ: уважність важливіша за складність

Приклад 4: Розв’яжіть рівняння $x^2 = 25x$
Перенесемо все в одну частину: $x^2 – 25x = 0$
Винесемо $x$ : $x(x – 25) = 0$ . Отже: $x_1 = 0, x_2 = 25$
Відповідь: 0; 25.
Це типовий приклад, де не потрібно обчислювати дискримінант. Подібні завдання перевіряють уміння побачити структуру рівняння. Такий формат є серед тренувальних матеріалів НМТ.

5. Теорема Вієта – коли корені можна знайти майже «на око»

1) Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння: $x^2+px+q=0$
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
Приклад 5: $x^2-7x+12=0$ .
Потрібно знайти два числа, які: у сумі дають 7; у добутку дають 12. Це числа 3 і 4. Отже: $x_1=3,x_2=4$ .
Відповідь: 3; 4.

2) Теорема Вієта для загального виду квадратного рівняння: $ax^2+bx+c=0$
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

6. Конспект теми «Квадратні рівняння»

Приклад 6: Розв’яжи самостійно за теоремою Вієта

Швидкий шлях: якщо корені легко підбираються,
теорема Вієта може бути значно швидшою за дискримінант

Приклад 7: Розв’яжи самостійно за теоремою Вієта

7. А якщо дискримінант дорівнює нулю?

Приклад 8: $x^2 + 6x + 9 = 0$
Маємо: $D = 6^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 – 36 = 0$ . Отже, рівняння має один корінь: $x = -\frac{6}{2} = -3$ .
А ще швидше можна побачити: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Тому: $x = -3$ .
Відповідь: – 3.

8. Якщо D < 0 – коренів немає

Приклад 9: $x^2 + 2x + 5 = 0$
Обчислимо: $D = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16$ . Оскільки: D < 0, рівняння не має дійсних коренів.

На НМТ в таких випадках не потрібно продовжувати обчислення.
Побачили D < 0– зробили висновок і рухаємося далі.

9. Геометричний погляд: що показує графік?

Проведемо дослідження. Квадратному рівнянню $ax^2 + bx + c = 0$ можна поставити у відповідність графік функції: $y = ax^2 + bx + c$ . Це парабола.
Кількість коренів рівняння – це кількість точок перетину параболи з віссю Ox.

D > 0 Парабола перетинає вісь Ox у двох точках.
D = 0 Парабола торкається осі Ox в одній точці.
D < 0 Парабола не перетинає вісь Ox.

Це дуже корисний зв’язок:
дискримінант можна «побачити» на графіку.

10. Міні-алгоритм для НМТ

Запам’ятайте просту послідовність:
1. Приведи рівняння до стандартного вигляду.
2. Визнач a, b, c.
3. Подивись, чи можна розкласти на множники.
4. Якщо зручно – використай теорему Вієта.
5. Якщо ні – обчисли дискримінант.
6. Визнач кількість коренів.
7. Знайди корені.
8. Перевір відповідь, якщо є сумнів.

11. Міні-квест для учня

Спробуйте розв’язати три рівняння, не підглядаючи у відповідь.
1) $x^2 – 9x + 20 = 0$
2) $2x^2 – 8x = 0$
3) $x^2 + 4x + 8 = 0$
Перевір себе. Відповіді:
1) $x_1 = 4, \quad x_2 = 5$
2) $x_1 = 0, \quad x_2 = 4$
3) Дійсних коренів немає.

Потрібна допомога з підготовкою до НМТ?

Якщо хочете впевнено розв’язувати завдання з лінійної функції та інших тем НМТ, зверніться до наших репетиторів з математики. Ми допоможемо систематизувати знання, розібрати складні теми та якісно підготуватися до іспиту.

Знайти репетитора з математики

12. Завдання НМТ

Приклад 10

Розв’язання завдання

13. Супер завдання НМТ. Завдання з параметром!

Рішення супер-завдання з параметрами

Квадратне рівняння – це не страшно
Квадратні рівняння мають свою логіку. Якщо навчитися бачити структуру, а не просто механічно підставляти числа у формули, багато завдань НМТ розв’язуються значно швидше.
Головне правило: Спочатку подумай, який спосіб найкоротший. Потім рахуй. Саме такий підхід допомагає економити дорогоцінний час на НМТ.

Висновок
Квадратні рівняння – це не набір страшних формул, а зрозумілий алгоритм.
Визначили вид рівняння → обрали найзручніший спосіб → розв’язали → перевірили. А далі – ще одне завдання, ще один правильний крок і ще трохи впевненості.

НМТ з математики
можна складати не зі страхом, а з усмішкою!

Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: «Квадратні рівняння»

1. Що таке квадратне рівняння?

2. Формула коренів квадратного рівняння:

3. Неповні квадратні рівняння

4. Завдання у стилі НМТ: уважність важливіша за складність

5. Теорема Вієта – коли корені можна знайти майже «на око»

6. Конспект теми «Квадратні рівняння»

7. А якщо дискримінант дорівнює нулю?

8. Якщо D < 0 – коренів немає

9. Геометричний погляд: що показує графік?

10. Міні-алгоритм для НМТ

11. Міні-квест для учня

Потрібна допомога з підготовкою до НМТ?

12. Завдання НМТ

13. Супер завдання НМТ. Завдання з параметром!

Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: «Системи лінійних рівнянь»

Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: Ірраціональні рівняння

Коментарі

Залишити відповідь

1. Що таке квадратне рівняння?

2. Формула коренів квадратного рівняння:

3. Неповні квадратні рівняння

4. Завдання у стилі НМТ: уважність важливіша за складність

5. Теорема Вієта – коли корені можна знайти майже «на око»

6. Конспект теми «Квадратні рівняння»

7. А якщо дискримінант дорівнює нулю?

8. Якщо D < 0 – коренів немає

9. Геометричний погляд: що показує графік?

10. Міні-алгоритм для НМТ

11. Міні-квест для учня

Потрібна допомога з підготовкою до НМТ?

12. Завдання НМТ

13. Супер завдання НМТ. Завдання з параметром!

Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: «Системи лінійних рівнянь»

Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: Ірраціональні рівняння

Коментарі

Залишити відповідь

Увійти

Зареєструватися

Скинути пароль