Підготовка до НМТ з математики з усмішкою: «Куля і сфера»

Математика – як кіт. Якщо її не лякати й гладити правильно (тобто розв’язувати задачі спокійно), вона муркотітиме й приноситиме гарні бали на НМТ.

Якщо уявити, що Земля – це величезна куля, то формула об’єму допоможе зрозуміти, чому ми ніколи не зможемо «накачати» її насосом. Хоча спробувати можна – але тільки у фантастичному фільмі!

Уяви, що це як гра: ти робиш хід, отримуєш результат, а таблиця показує – чи був це «критичний баг» чи «блискуча перемога».

Завдання + варіанти помилок	Покрокове рішення
1. Знайдіть площу поверхні кулі, якщо R=2.  А) 16 – втратив множник  π Б) 4π – плутанина з площею круга  В) 12π – випадкове число  Математика не казино, тут випадкові числа не працюють! Г) 18π – помилка у множнику  Д) 16π – правильна Браво! Куля сяє як нова лампочка!	Формула: $S = 4\pi R^2$.  $S = 4\pi \cdot 4 = 16\pi$.
2. Яке рівняння сфери з центром у точці O(0;0;0) та радіусом R=4?  А) $x^2+y^2+z^2=16$ – правильна  Точно в ціль! Сфера ідеально рівна! Б) $x^2+y^2+z^2=4$ – плутанина між R і R²  В) $x^2+y^2+z^2=8$ – випадкове число  Г) $x^2+y^2+z^2=12$– помилка у квадраті Трохи недорахував – сфера зменшилась, як повітряна кулька!  Д) $x+y+z=16$ – плутанина з формулою	Формула: $x^2+y^2+z^2=R^2$.  $R^2=16$. $x^2+y^2+z^2=16$
3. Чи належить точка M(0;0;5) сфері з центром у початку координат і радіусом R=5?  А) Ні – плутанина Б) Так – правильна В яблучко! Точка сидить на сфері, як бджола на кулі! В) Лише якщо R=25 – помилка  Г) Лише якщо центр не у початку – неправильна умова  Д) Взагалі не належить – хибне твердження Точка образилась, але дарма – вона ж на сфері!	Перевіримо: $0^2+0^2+5^2=25$. $R^2=25$.  Точка належить сфері.
4. Знайдіть об’єм кулі з радіусом R=3.  А) 36 π – правильна Чудово! Куля наповнилась правильно, як м’яч для гри. Б) 198 π – помилка у формулі (не поділив на 3) В) 8π – помилка у множнику  Г) 4π – забув степінь Забув куб – і куля стала квадратною.  Д) 36 – не помножив на π	Формула: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.  $V=\frac{4}{3}\pi\cdot27$ $V=36\pi$.
5. Яке рівняння сфери з центром у точці C(1;2;3) та радіусом R=6?  А) $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=12$ – випадкове число  Це не сфера, а експеримент у стилі “а раптом пощастить”! Б) $(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=36$ – плутанина зі знаками  В) $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=6$ – плутанина між R і R²  Г) $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36$– правильна  Браво! Сфера стоїть на місці, як планета на орбіті Д) $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=18$ – помилка у квадраті Ти недоквадратив – сфера стала напівсферою!	Формула: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$.  $R^2=36$.  Отже, $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36$